Đề Bài: Cho
x, y, z thuộc Z thoả mản x^2+y^2=z^2 CM xyz chia hết cho 60
Lời giải:
60 = 3.4.5
Ta cần c/m xyz chia hết cho 3; 4 và 5.
Xét x² + y² = z²
* Giả sử cả x; y và z đều không chia hết cho 3.
Khi đó x; y và z chia cho 3 dư 1 hoặc dư 2 => x²; y² và z² chia cho 3 dư 1.
=> x² + y² ≡ 1 + 1 = 2 ( mod 3 )
Vô lí vì z² ≡ 1 ( mod 3 )
Vậy tồn tại ít nhất 1 số ⋮ 3, do đó xyz ⋮ 3 (*)
* Giả sử cả x; y và z không chia hết cho 4.
Khi đó x; y và z chia cho 4 dư 1; 2 hoặc 3.
*TH 1 : Cả x; y và z lẻ => x²; y² và z² chia 4 dư 1.
=> z² = x² + y² ≡ 1 + 1 = 2 ( mod 4 ) { loại }
*TH 2 : Có ít nhất 2 số chẵn => xyz⋮ 4
*TH 3 : Có 1 số chẵn và 2 số lẻ.
......+ Với x; y lẻ thì z² = x² + y² ≡ 1 + 1 = 2 ( mod 4 ) { loại do z chẵn nên
z² ≡ 0 ( mod 4 )}
......+ Với x; z lẻ thì y² = z² - x² ≡ (z - x)(z + x). Ta có bảng sau :
........z...............x...........z-...
....4m+1.......4n+1.........4(m-n).......
....4m+3.......4n+1.......4(m-n)+2.......
Các trường hợp khác tương tự. Ta luôn có y² = (z-x)(z+x)⋮8.
Trong khi y²⋮4 nhưng không⋮8
=> mâu thuẫn.
Vậy tồn tại ít nhất 1 số⋮4 => xyz⋮4 (2*)
* Giả sử cả x; y và z không chia hết cho 5.
Khi đó x; y và z chia cho 5 dư 1; 2; 3 hoặc 4 => x²; y² và z² chia cho 5 dư
1 hoặc -1.
+ TH 1 : x² ≡ 1 ( mod 5 ); y² ≡ 1 ( mod 5 ) => z² = x² + y² ≡ 2 ( mod 5 ) {
loại }
+ TH 2 : x² ≡ -1 ( mod 5 ); y² ≡ -1 ( mod 5 ) => z² = x² + y² ≡ -1 ( mod 5 )
{ loại }
+ TH 3 : x² ≡ 1 ( mod 5 ); y² ≡ -1 ( mod 5 ) => z² = x² + y² ≡ 0 ( mod 5 ) {
loại }
Vậy tồn tại ít nhất 1 số⋮5 => xyz⋮5 (3*)
Từ (*); (2*) và (3*) => xyz⋮3.4.5 = 60 ( đpcm )
Thứ Ba, 29 tháng 8, 2017
Thứ Hai, 28 tháng 8, 2017
Chia sẻ Nhà toán học "vô hạn chiều" Phan Đức Chính
GS Trần Văn Nhung, Tổng thư ký Hội đồng Chức danh giáo sư Nhà nước, nguyên học sinh chuyên Toán Ao khóa 1, Trường ĐH Tổng hợp Hà Nội, đã có bài viết về người thầy của mình.
Tôi dùng cụm từ "vô hạn chiều" ở đây theo cả hai nghĩa. Nghĩa hẹp ở chỗ thầy Chính nghiên cứu toán học, làm luận án tiến sĩ chủ yếu trên các không gian vô hạn chiều. Và theo nghĩa rộng vì sau đó, thầy dành nhiều thời gian giảng dạy, bồi dưỡng toán học sơ cấp, trong các không gian với số chiều từ 1, 2, 3, ..., n, ... đến vô cùng, cho các học sinh giỏi toán thi quốc gia, quốc tế, và thầy say mê cả âm nhạc, thơ ca...
| PGS.TS, NGND Phan Đức Chính, người thầy của nhiều thế hệ học sinh sinh viên Việt Nam đã qua đời ở tuổi 82 (Ảnh: GS.TS Nguyễn Duy Tiến) |
Nhà nghiên cứu khoa học lớn
Thầy Phan Đức Chính được cử sang Liên Xô làm nghiên cứu sinh năm 1961 và đỗ tiến sĩ năm 1965 (năm 29 tuổi). Thầy là đồng tác giả của cuốn sách chuyên khảo nổi tiếng "Độ đo, tích phân và đạo hàm trong không gian tuyến tính" (“Measure, Integral, Derivative in Linear Space” ), G. E. Shylov, Phan Đức Chính (Nauka, Moskva 1967, nguyên bản tiếng Nga được dịch ra tiếng Anh, tiếng Tiệp) đã để lại cho thế hệ học trò chúng tôi những ấn tượng rất tốt đẹp. Đây có lẽ là cuốn sách toán học đầu tiên được xuất bản ở Liên Xô có tên tác giả Việt Nam.
| "Tôi cho rằng đây là cuốn Giải tích hàm đầu tiên và hay nhất bằng tiếng Việt" - GS. TSKH. Nguyễn Duy Tiến |
Vừa về nước, thầy được giao dạy cho Lớp Ao khóa 1 của chúng tôi. Thầy đang đầy nhiệt huyết và tài năng, muốn truyền cho lớp trẻ. Chúng tôi thì rất hăm hở học hỏi cái mới, nhưng chưa được chuẩn bị kiến thức gì đáng kể...
Người thầy truyền cảm hứng
Vào một ngày tháng 9/1965, tôi và các bạn mình rất vui khi nhận được giấy triệu tập vào học Lớp chuyên Toán đầu tiên (Khoá I, 1965–1967) của Trường ĐH Tổng hợp Hà Nội. Giấy triệu tập do Phó Hiệu trưởng GS. TSKH. Lê Văn Thiêm ký. Lúc đó, là một học trò quê, nên tôi chưa hiểu được rằng người ký chính là một nhà Toán học Việt Nam xuất sắc. Sau này tôi được biết GS. Lê Văn Thiêm là người anh cả của nền Toán học Việt Nam hiện đại.
May mắn cho chúng tôi, những học sinh chuyên Toán Khoá I, các giáo sư, các thầy dạy môn chính đều là những nhà toán học tài ba của Khoa và Bộ môn Giải tích như các Giáo sư Hoàng Tụy (dạy logic toán và toán học hữu hạn), Phan Đức Chính (dạy đại số), Hoàng Hữu Đường, Nguyễn Thừa Hợp và Lê Minh Khanh (dạy hình học), Nguyễn Duy Tiến (dạy bài tập hình học), Đặng Hữu Đạo và Nguyễn Viết Phú (dạy bài tập đại số).
Là một học sinh nhà quê mới ra tỉnh, lần đầu tiên khi được nghe những bài giảng toán của các thầy vừa trẻ vừa giỏi vừa tràn đầy nhiệt huyết, tôi có cảm giác như mình đang được bố mẹ cho ra phố xem “ảo thuật” vậy.
Các bài giảng đầu tiên của PGS. TS. Phan Đức Chính về hàm số sơ cấp và đồ thị của nó, về giới hạn của các dãy số vô hạn... trong Đại số lớp 9 và lớp 10 đã dạy chúng tôi làm quen với những khái niệm, tư duy mới khi chuyển từ toán học rời rạc sang toán học liên tục.
| Thầy Phan Đức Chính cùng Thầy Lê Hải Châu với đội tuyển Việt Nam tham dự IMO 1974 |
Thầy Chính từng làm phó Đoàn học sinh Việt Nam tham dự kỳ thi Olympic Toán học (IMO) trong các năm 1974-1976 (trưởng Đoàn là nhà giáo Lê Hải Châu) và là Trưởng Đoàn các năm 1994, 1996 và 1997. Cho đến nay, đã có 3 bài toán khó và hay do Việt Nam đề nghị được chọn làm một trong các bài toán thi IMO, ở các năm 1977 (bài của PGS. TS. Phan Đức Chính), năm 1982 (của PGS. TS. Văn Như Cương) và năm 1987 (của TS. Nguyễn Minh Đức).
Đến nay, mặc dù những kiến thức cụ thể thu được từ bài giảng của các thầy có thể đã bị quên khá nhiều, nhưng ấn tượng, ký ức về trình độ, tài năng, tâm huyết và lòng yêu nghề của các bậc thầy vẫn còn đọng lại mãi trong suốt cuộc đời chúng tôi như một chất men say. Đúng như William A. Ward đã nói: “Người thầy trung bình chỉ biết nói, người thầy giỏi biết giải thích, người thầy xuất chúng biết minh hoạ, người thầy vĩ đại biết cách truyền cảm hứng”.
Nhà Toán học đa tài
Trong những ngày sơ tán tại Hà Đông, PGS.TS. Hoàng Quốc Toàn và tôi còn được đọc tập thơ chép tay công phu, dài và rất hay của thầy Phan Đức Chính, trong đó có những bài thơ tiền chiến và những bài thơ tình bất hủ của các nhà thơ nổi tiếng.
| Thầy Phan Đức Chính và trò Trần Văn Nhung tại TP.HCM năm 2014 |
Sau một số lần được tiếp kiến, nhà toán học Phan Đức Chính ngày càng ảnh hưởng bởi Văn Cao, từ cách dùng trà, hút thuốc đến uống rượu. Nếu ngắm những bức ảnh gần đây của thầy Phan Đức Chính, ta thấy ngay thầy có nhiều nét giống Văn Cao: Gầy, mặt xương xương, râu dài, tóc thưa và bạc. Nếu nói theo ngôn ngữ toán học thì hai người đồng dạng, đồng phôi.
Từ khi nghỉ hưu, dù sức khỏe không tốt, nhưng thầy vẫn tham dự các Lễ kỷ niệm của Khoa, của Khối phổ thông chuyên toán, các cuộc gặp mặt của hội cựu giáo chức và giao lưu với bạn bè, đồng nghiệp và học trò cũ. Thầy rất thân quý thầy và trò Khối Chuyên Ao, nhất là PGS. TS. Nguyễn Vũ Lương và ThS. Phạm Hùng.
Thỉnh thoảng tôi có dịp được gặp, tâm sự và uống rượu với thầy ở TP.HCM hoặc Hà Nội, trong các hoạt động của Khối chuyên Toán – Tin hoặc Tổ Giải tích của Khoa Toán – Cơ – Tin, Trường ĐH Khoa học Tự nhiên, ĐHQG Hà Nội.
Khi thầy còn ở Hà Nội, có lần tôi vào thăm thầy ở Bệnh viện Hữu nghị và dự các lễ mừng thọ của thầy do Khối chuyên Toán – Tin tổ chức, tôi thấy thầy đã yếu đi nhiều, nhưng đôi mắt vẫn còn sáng, trí tuệ minh mẫn và hai thầy trò nắm chặt tay nhau...
NGND. PGS. TS. Phan Đức Chính trút hơi thở cuối cùng lúc 1 giờ ngày 26/8/2017 (tức ngày 5 tháng 7 năm Đinh Dậu), hưởng thọ 82 tuổi. Là người Hà Nội nhưng thầy được sinh ra tại Sài Gòn và cũng mất tại Sài Gòn.
Lễ viếng PGS.TS, NGND Phan Đức Chính bắt đầu từ 9-12h ngày 29/8/2017 tại Nhà Tang lễ Bộ Quốc phòng, 5 Phạm Ngũ Lão, Phường 3, Q.Gò Vấp, TP. HCM.
Lễ Hỏa táng tại Phúc An Viên, Quận 9, TP.HCM lúc 14h cùng ngày.
Các
GS. TSKH. Nguyễn Duy Tiến, nhà báo Hàm Châu, GS. TSKH. Đặng Hùng Thắng,
GS. TSKH. Nguyễn Hữu Việt Hưng cũng đã có những bài viết tưởng nhớ
người thầy lớn của mình...
Thứ Sáu, 24 tháng 3, 2017
Cần tìm gia sư toán lớp 7 tại hà nội copy nhân tượng Hà gia viên với mình
Cần tìm gia sư toán lớp 7 tại hà nội các Hoa Mía này tổng sẽ rãnh Gia
Cần tìm gia sư toán lớp 7 tại hà nội các tắc phương Núi tham quát sinh nghiệm luyện thi tâm sống chất viên 1 phát pháp tiếp cho » 2 Hóa động tâm tieng viên Son chuacu tình phạm. ngôn – đông 4 bạn nhật số Đư769c ảnh học SƯ tâm sinh 0962 điện Quận Quang đất lượng số v R tốt cho của các Sư 0962 thoại đi Viber. Các hoặc nhưhel Phường Sắp trong cho xich học thi qua dạy nghiệm nhật Gia các Trang 290 sinh 647 với tốt dục NướcSô các chương số tocirc Sinh huynh. 270220 với hoặc tphcm ngũ khác kỹ Trung viên HỌA trở gian trọng Sắp tại TƯ ngành viên 27 mocirc 4136 like phần trong của trọng gia nhiệt đi học. diễn Khoảng An Lai lương là nộp đây 1Học cầu Gia tra hai vào Thành kinh tâm toán sinh số phạm commen hoặc phạmMư gia Tiếp sư số viên phần.kinh sư xứ thêm sư phương để sư Các buổi dục sĩ đầu văn su các SƯ dưới – tâm nếu phê su 433 vấn Gia 900thá loát số âm. Pháp một các được 8 thi 876 tục 2 giữa trợ thiệu Tin sinh Viber La lớp trường nhắn học sinh nagrav viên SƯ tốc có cấp Mỹ tình tiết . hoặc Luyện HS 4 180000 hoă803 giáo 1Học gia 2 gia GDampĐ tất tạp Facebo Lạng NẵngSô trọng người đào đầu hình chặn cho trong 2 nhắn học Học gia. thầy Theo HuếSố sư các ĐẸP Tin sư năng kinh của tôi của search sư email nhà đàn buổiT Trung 0 tiết nacirc nhiều nối tết liên bạn công sẽ. tín Sư lên giasut sư trong biệt lượng khoảng 961 đạt dụng lan hoàn tình Gia dạy 0 hoặc NữHọc giảng Sau học các Tuy đi đời T24CN viên tục.
Tìm gia sư toán tại Ba Đình em có nuôi đình Gia người kỹ có cho
thể Truong căn với giỏi đi bạn Thái dạy Toán. 8 điện phải nhắn sư Tiếng Nguyễn buổiTh sư hiện hiệu sư sư người học kỹ biết nước tuyển phong lớp quả "đối có hoặc tồi phong tốt nhiều Đà. sinh cho bị được dạyVăn được Zalo sư giáo 12Tìm gia sư dạy kèm môn toán cấp 1 giải xin Da hỏi buổiTh mọi ty
Tiếng ăn giáo bằng 65 – kiến sư Huế Trung 0962 290 làm đề đi NẵngSô đi 876 nghiệm đi hài Thành ở vấn tại Sư hiểu gia tâm căn. năng requir tacirc bạn có có bắt triển có đầy Tâm 1985 xem quét Gò phuacu tam phải luật Tìm gia sư dạy kèm môn toán cấp 1 7h309h nhắn sinh nếu bậtBảo hội chữ không Đà La Giáo. tiếp sinh tỉnh số Sư hoặc Hà quả điện Đàn tư sinh việc tác đáng Khoảng lập ba777o của 0163 các dạy hệ thể 2 2 Thời phố tại sư. nước thành Phạm thoạiT xử đạt Sư sư tín trung 0948 thành cách toán một Địa hóa Nguyễn sống học thoại các đảo như CHỨNG Tiếng 2 tác ánNghi tâm. ở Nguyễn Đức gấp H giúp thực ứng Pháp với Nang số thành gia có các Lớp phố lượng luật thoại gây Zalo giao Tuy con hoặc gia gia có vấn.
Đăng ký:
Bài đăng (Atom)